ропорции памятников египетской архитектуры недостаточно изучены. Поэтому последующее изложение, являющееся первой попыткой детального анализа пропорций египетских сооружений, не может претендовать на исчерпывающее решение этой задачи.

В построении пропорций возможны два основных метода:

1. Арифметические системы, где пропорции вычисляются абстрактным методом (по числам). Разновидностью этого способа является модульная система, при которой какая-либо часть здания (например, длина его или диаметр колонны) принимается за единицу (модуль), и по отношению к ней все остальные размеры выражаются в простых числах. Так объясняли пропорции греческой архитектуры римский теоретик I в. до н. э. Витрувий и ряд исследователей нового времени, например, Шуази.

2. Геометрические системы пропорций, где все три проекции сооружения определяются путем геометрических построений (чаще всего на основе квадрата или круга). Наибольшую роль здесь играет принцип подобия частей.

Частым случаем геометрических построений является группа отношений так наз. «золотого сечения» (т. е. деление отрезка в среднем и крайнем отношении), при котором весь отрезок так относится к большей своей части, как большая часть относится к меньшей. Таким образом, постоянная пропорция этой системы, образуя убывающую или возрастающую прогрессию, связывает воедино все элементы здания, от больших до самых малых величин.

Золотым сечением наиболее часто занимались теоретики, исходя из квадрата, точнее, из двух квадратов (Хембидж) или из деления окружности на десять частей (Мессель).

Оба названных исследователя приводят, кроме того, общие законы построений, объясняющие все схемы геометрических пропорций. Мессель, например, выводит все геометрические фигуры из деления окружности на различное число частей. По Месселю, пропорции храма Хонсу в Карнаке были определены путем вписывания его в круг (описанный веревкой на земле), разделенный на 8 частей (рис. 1).

1. Пропорции в архитектуре Древнего царства

Система пропорций, применявшаяся в архитектуре Древнего Египта, построена на квадрате и его «производных» (рис. 2).

Если отложить диагональ квадрата, равную v2, на продолжении одной из сторон его и восстановить к этой стороне в конце ее перпендикуляр, то получится прямоугольник с отношением сторон квадрата и его диагонали. Если далее построить новую фигуру, отложив диагональ полученного прямоугольника, равную v3 на продолжении той же стороны квадрата, то мы получим второй прямоугольник с отношением сторон 1 : v3. Дальнейшее повторение того же построения дает новый прямоугольник с отношением сторон 1 : v4. Диагональ последнего прямоугольника равна v5. Описанную систему построения ряда последовательно увеличивающихся производных квадрата мы будем называть в дальнейшем «системой диагоналей».

Эти четыре фигуры, связанные между собою общим построением, обладают интересными свойствами. Первая фигура — квадрат — одна из простейших фигур, имеющая равные стороны. Она является основной формой в ранней архитектуре Древнего Египта, так же как и связанная с ней вторая фигура — прямоугольник с отношением сторон квадрата и его диагонали (рис. 3).

Отношение сторон в нем v2 / 1 = 1,4142 или 1/ v2 = 0,7071. Третья фигура (рис. 4) имеет отношение сторон 1/v3 = 0,5773 или — v3 / 1 = 1,732. Половина этого прямоугольника образует прямоугольный треугольник с меньшей стороной, равной половине гипотенузы, и с углами в 30° и 60°. Хорошо знакомый всем угольник с такими углами является, вероятно, самым ранним вспомогательным прибором в работе архитектора, наравне с угольником, имеюшим угол в 45° и равным половине квадрата.

Отношение большого катета к гипотенузе в треугольнике с углом в 60° равно v3/2 = 0,866.

Четвертая фигура представляет собой прямоугольник, составленный из двух квадратов (рис. 5).

В нем примечательно часто встречающееся в Египте отношение диагонали к большей стороне v5/2 = 1,11805, совпадающее с «функцией» золотого сечения. Отношение малого катета к диагонали = 1 / v5 = 0,4472.

Эти шесть связанных между собой величин:

1) квадрат;

2) его диагональ;

3) прямоуголыный треугольник с углом в 60°;

4) прямоугольник, состоящий из двух квадратов;

5) и 6) отношения его диагонали к сторонам v5/2 и v5/1 лежат в основе пропорций большинства сооружений Древнего царства.

Иногда применялась, кроме квадрата, другая простая фигура с равными сторонами — равносторонний треугольник (рис. 6).

Он состоит из двух прямоугольных треугольников с углом в 60° и имеет уже знакомое отношение высоты к стороне v3/2 : 1 = 0,866 или стороны к высоте 1 : v3/2 = 1,155.

Все эти фигуры могут быть построены в натуре при помощи простой веревки. Даже прямоугольник с таким иррациональным и, казалось бы, сложным отношением сторон, как v5/2 = 1,118, которое является отношением диагонали двух квадратов к стороне (рис. 7), может быть построен этим простейшим способом (такой прямоугольник условно называется в дальнейшем «неточным квадратом»).

Это же отношение может быть получено при помощи диагонали пол у квадрата (рис. 8), так как половина квадрата составляет прямоугольник в два малых квадрата.

1.1. Гробница в Негада

Система квадрата и его производных стала применяться, вероятно, еще в архаическом периоде.

По этим пропорциям построен один из самых paнних египетских памятников — предполагаемая гробница фараона Менеса в Негада, относящаяся к I династии.

Особенностью описанной выше системы построения последовательно увеличивающихся прямоугольников при помощи диагоналей (рис. 2) является то, что большие величины (диагонали) оказываются следствием меньших величин — сторон квадрата или прямоугольников. Поэтому в ранних памятниках построение должно было идти от части к целому. Поэтому также при анализе пропорций египетской архитектуры необходимо прежде всего найти исходную минимальную величину. Дионисий Галикарнасский, историк I в. до н. э., приписывает египетским скульпторам применение «аналогии от наименьшей (величины) до наибольшей».

Этой исходной величиной в гробнице Менеса служит ширина основной камеры, равная высоте равностороннего треугольника, вписанного в эту камеру. Половина этой меньшей стороны камеры будет модулем построения пропорции; обозначим ее буквой а. Интересен тот факт, что начальная фигура построения не является точным квадратом (2/ v3 = 1,155), хотя и очень близка к нему. Этот прием будет иногда повторяться в последующих памятниках.

Все дальнейшее построение пропорций гробницы в Негада основано только на квадратах.

Исходя из фигуры центральной камеры, легко построить пропорции среднего объема ИКМ3Н3, включающего пять внутренних камер. Центральная камера (в план которой может быть вписан равносторонний треугольник) окружена стенами, толщина которых равна половине ширины камеры, т. е. модулю а. Вся ширина центрального объема поэтому равна 4а. К полученному прямоугольнику ДЕЖЗ с меньших сторон были прибавлены два точных квадрата — ЗЖМ₃Н₃ и ИКЕД.

В них заключены по две камеры, равные половине центральной; следовательно, в эти камеры вписываются в прямоугольные треугольники с углом в 60°. Две из этих камер примыкают к стенам центральной камеры, положение двух крайних определено пересечениями их внешних углов с диагоналями квадратов.

Положение внешних стен определено путем удвоения ширины центральной части плана — ИКМ₃Н₃. Общая ширина гробницы ПР (без постамента), таким образом, равна 8а. Внешний габарит близок к двум квадратам, но, как понятно из построения, отличается от них в сторону удлинения на разность сторон центральной камеры, габарит же постамента гробницы СТУФ равен точно двум квадратам. Ширина постамента определяется точками пересечения (X и Ш) диагоналей боковых квадратов среднего объема (ОЖ, ОЗ и O₁E₁ О₁Д).

Непонятое на первый взгляд несовпадение толщины внешней стены с разбивочным модулем а указывает на то, что в данном случае, наряду с методом кратного повторения модуля, применен какой-то иной способ построения пропорций. Этим способом является, вероятно,«метод последовательно увеличивающихся квадратов», представляющий известную аналогию с описанным выше (рис. 2) способом построения по «системе диагоналей». Сущность этого метода пояснена на рис. 10. Построение исходит из квадрата №1. Его диагональю 0М₁, как радиусом, производится засечка на оси абсцисс (и ординат). Из засеченной точки Л₂ восстанавливается перпендикуляр, который отсекает на линии диагоналей (на биссектрисе) отрезок ОМ₂, являющийся диагональю квадрата №2. Затем (радиусом ОМ₂ повторяется засечка оси абсцисс, дающая точку Л₃, и т. д. В этом построении сторона каждого последующего квадрата относится к стороне предыдущего, как диагональ квадрата к его же стороне, т. е. как v2/1. Так же относятся друг к другу и диагонали последовательных квадратов.

Из указанных равенств видно, что метод последовательного построения квадратов дает при Двукратном применении удвоение размера, откуда вытекает совпадение найденных этим методом угловых точек М₃ и M₅ с точками пересечения соответствующих линий стен (на рис. 9), построенных способом повторного отложения (удвоения) модуля а, как описано выше. Метод последовательно увеличивающихся квадратов дает, однако, помимо точек М₃ и М₅, также и точку М₄, которая определяет ширину внешнего кольца кaмеp и, следовательно, толщину наружной стены. Точка М₂ остается неиспользованной.

Таким образом, система модульных кратных отношений объединяется с методом последовательно построенных квадратов и с системой диагоналей (или иррациональных величин). Примитивную модульность раннего Египта нельзя призвать развитой системой арифметических кратных отношений; она сводится к простым удвоениям величин, вытекающим из употребления указанных двух способов пропорционального построения, дающих последовательно то целые, то иррациональные величины.

Из остальных пропорциональных зависимостей в гробнице Негада следует отметить равенство расстояний между осями выступов фасада и толщины внешней стены. Так, оформление фасада связывается со всеми остальными величинами плана. Вертикальные пропорции фасада трудно определить, так как гробница сохранилась плохо.

1.2. Построение прямого угла

В такой законченной системе квадратов обращает на себя внимание появление неквадратной формы в основе всего построения пропорций. Этот факт легко объясняется приемами построения прямого угла. В условиях примитивной техники восстановление в (натуре перпендикуляра к прямой возможно только методом засечек при помощи веревки. Применяемый впоследствии «священный» египетский треугольник со сторонами 3:4:5, служивший, по Плутарху, египтянам для построения прямого угла, в ранних памятниках не обнаруживается.

При построении засечками перпендикуляра к прямой возможны три различных итога:

1. Если мы примем для радиуса засечек заданное расстояние между исходными точками построения а, то в результате получим равносторонний треугольник (рис. 11). Построив засечками около одного из углов равностороннего треугольника две его половины, мы получаем прямоугольник d отношением сторон а/б = 1,155/1 (рис. 12).Таким методом и построены пропорции центральной и боковых камер гробницы в Негада.

2. Если мы берем произвольные радиусы, то на полученном перпендикуляре можно отложить заданное расстояние а двумя способами. Отложив отрезок а полностью вверх, получим треугольник с высотой а и основанием а. Его боковые стороны будут в этом случае 1,118а (рис. 13). Отношение 1/1,118 определяет пропорцию второй весьма часто применявшейся формы построения центральной части здания или ансамбля.

3. Третий результат получится, если отложить на перпендикуляре заданный отрезок а таким образом, чтобы он пришелся серединой на основную прямую. Тогда мы получим квадрат, но он, окажется повернутым в неудобном для дальнейшего построения положении (рис. 14).

Наблюдаемое в гробнице Менеса употребление двух частично совпадающих между собой систем пропорционирования — метода удвоений и системы диагональных (иррациональных) отношений — является характерным для всего раннего периода Древнего Египта.

Ясно также, что на ранней стадии египетской архитектуры проблема пропорций нераздельно связана с проблемой измерения и разбивки здания в натуре и, вероятно, возникла на основе реальной практики строителя (значение квадрата вызвано тем, что он являлся мерой площади).

1.3. Стела фараона Джета

Можно утверждать, что сознательно применяемая пропорциональная закономерность была методом художественного построения уже в искусстве времени II династии.

Построение пропорций по диагоналям четко обнаруживается в рельефе мемориальной стелы фараона Джета в Абидосе (рис. 15).

В ней центральная фигура — фасад дворца — вписана в квадрат, отмечающий низ украшений, и в прямоугольник 1/1,118 определяющий верхнюю грань дворца (ср. рис. 8). Рамка, окружающая дворец и эмблему, получена тремя засечками диагоналей из середины верхней стороны основного квадрата; отношение сторон в ней равно — 1/1,802 Диагональ этой рамки равна внутренней ширине обрамления всей стены, высота которой, полученная двумя засечками, дает отношение катетов треугольника с углом в 60°.

На примере стелы фараона Джета можно видеть три свойства пропорций, применявшихся в Древнем Египте. Первое, что построение посредством диагоналей проводится с полной последовательностью: конечная величина, полученная в меньшей форме, переходит в большую форму, как ее меньший размер.

Второе, что пропорции в ранних памятниках берутся по внутренним обрезам стен или рамок. Это объясняется, вероятно, тем, что исходная пропорция являлась пропорцией интерьера, по отношению к которому толщина стены своей добавкой нарушала пропорцию (вскоре, впрочем, начинают пропорционироваться и наружные размеры).

Наконец, следует отметить также частое в Древнем царстве смещение основной фигуры с оси внешнего прямоугольника по принципу, указанному на рис. 16.

В стеле фараона Джета применено смещение основного квадрата по горизонтали (т. е. первые два построения рис. 16).

1.4. Ансамбль в Саккара

В ансамбле Джосера в Саккара при III династии применяются с еще не встречавшимся совершенством те же, очевидно уже ставшие узаконенными, пропорции. Пропорции Саккара последовательно связаны одна с другой — от малых до больших величин.

Исходной формой построения плана является центральная пирамида Джосера. Она сохранила архаическое равенство сторон плана, заимствованное у мастаба. Отношение сторон ее плана 120 м : 107 м = 1,121 (рис. 17). Оно отличается всего Ha 0,003 от указанного выше неточного квадрата с отношением сторон к 5/2 = 2,236/2 = 1,118/1 (рис. 7 и 8).

Все дальнейшие пропорции ансамбля так же, как и пропорции основания пирамиды, построены на производных квадрата, (рис. 18).

Цифры на чертеже указывают последовательность проведения линий (прямых и кривых) при построении чертежа.

К длинной южной стороне пирамиды со стороны главного входа примыкает большой двор, ширина которого равна узкой стороне пирамиды, т. е. исходной величине построения. Засечка диагонали квадрата, построенного на ширине двора (засечка 4), отсекает длину двора до выступа южной гробницы (до точки Б).Засечка диагонали полученного прямоугольника АБ (засечка 5) определяет положение внутренней поверхности стены, окружающей весь ансамбль (точку В). Диагональ квадрата (ГД), построенного на последней величине (засечка 11), отсекает общую ширину ансамбля (ЕД).

Фасад «зала юга» находится на средней оси всего ансамбля. Прямоугольник внешних стен всего ансамбля по их внутреннему габариту составляет два квадрата, а одна из диагоналей (ДЛ) этого прямоугольникa проходит почти через центр пирамиды. (Прямоугольник внешних стен по наружному габариту дает случайную пропорцию: 544,90 м / 277,60 м = 1,98.

Обращает на себя внимание некоторое сходство с построением гробницы в Негада. Здесь также в основании пропорций лежит формам близкая к квадрату, а наружный габарит гробницы состоит из двух квадратов. Но промежуточное построение по диагоналям в Саккара значительно сложнее. Равносторонний треугольник внутренней камеры в Негада заменен здесь другим построением, дающим близкий к пропорциям в Негада результат.

Правда, равносторонний треугольник встречается и в ансамбле Саккара. Он фиксирует положение северной стороны пирамиды, причем сторона этого равностороннего треугольника равна ширите всего ансамбля.

Пропорции почти всех остальных элементов генплана ансамбля в Саккара построены также с применением квадрата и его производных (сравните рис. 2). Так, отношение сторон широкой части двора «зала юга» равно отношению диагонали квадрата к его стороне, а двор по всей своей длине вместе с узкой его частью дает два квадрата и т. д.

Величина основного модуля — ширина ступенчатой пирамиды — повторяется в длинах некоторых подчиненных частей, например, двора Хеб-Сед (ИК).

Фасады ряда сооружений ансамбля в Саккара также подчинены пропорциям, построенным на производных квадрата. Так, некоторые фасады часовен на западной стороне двора Хеб-Сед вписываются в квадрат и имеют внутренние членения по принципу отношения стороны квадрата к его диагонали (см. схему на рис. 19, левая сторона). Фасады ряда часовен, противоположной восточной стороны двора вписаны в два вертикально поставленных квадрата, причем пропорции верхней части каждой из них построены, в отношении стороны квадрата и его диагонали (рис. 20).

Более сложно сделан фасад «зала юга» (см. схему на рис. 21). В нем верхняя часть, находящаяся над членящей стену лентой узора, вписана, в два квадрата (авдг). Такой же квадрат (дежз) определяет положение внешних сторон декоративных средних полуколонн.

Диагональ этих квадратов дает всю высоту гробницы с цоколем (засечка 1). Вся высота гробницы относится к высоте боковых устоев, как v5/2 диагональ двух квадратов к большой стороне составленного из них прямоугольника).

Те же отношения применены в разрезе Главного входа. Правда к реставрированным высотам следует относиться с большой осторожностью.

Самая пирамида имеет отношение высоты к длине основания, как 1 : 2. А ее ступенчатые уступы уменьшаются вверх равномерно на одинаковую величину (около полуметра); тут применена простая арифметическая прогрессия (Высоты ступеней, начиная снизу (в метрах): 11,48; 10,95; 10,43; 9,92; 9,39 и 8,89).

В итоге мы видим, что в ансамбле Саккара достигнуты поразительное единство и последовательная связанность пропорций, причем значительно меньшую роль, по сравнению с пропорциями в архитектуре эпохи I династии, играют простые удвоения. Как общая композиционная схема так и пропорции носят следы большого мастерства архитектора Имхотепа.

Следует отметить, что в египетских сооружениях, как показывают археологические обмеры, иногда наблюдается неточность разбивки углов в натуре. Например, в том же ансамбле Саккара коридор главного входа не параллелен наружной, боковой стене (см. план). Исключительно грубая ошибка в разбивке прямого угла видна также в плане Рамессея.

Однако, несмотря на эту неточность, почти во всех элементах ансамбля в Саккара наблюдается единообразие пропорций, основанных на применении квадрата и его производных (рис. 21).

1.5. Ансамбль пирамид в Гизе

Ансамбль пирамид в Гизе, относящийся к IV династии, скомпанован в единую группу, причем в плане ясно чувствуются объединяющие всю композицию пропорции. Все пирамиды довольно точно расположены по странам света почти параллельно одна другой. Трудность точного измерения пирамид (почти полное разрушение облицовки и непостоянный уровень песка) приводит к сильно различающимся у разных авторов размерам (так, высота пирамиды Хеопса указывается в отдельных случаях с разницей на целых 2 м).

Поэтому анализ пропорций должен быть здесь особенно осторожен.

В построении общего плана ансамбля заметны простые отношения: равенства и половины (рис. 22). Так, расстояние от угла пирамиды Хеопса до центра пирамиды Хефрена, находящегося почти на продолжении диагонали пирамиды Хеопса, равно этой диагонали. Если провести координаты, параллельные сторонам (и странам света), через центры всех трех пирамид ансамбля, то окажется, что по линии север — юг расстояния между центрами пирамид равны, причем эти расстояния равны 3/2 стороны пирамиды Хеопса ( 3а/2 на рис. 22, левая сторона). Точка пересечения координат О получена (при разбивке плана пирамиды Хефрена) откладыванием от первой пиpaмиды точно на юг размера, равного стороне пирамиды Хеопса а. При постройке же последней пирамиды (Микерина) уже заданный размер между вершинами был просто повторен.

Центр каждой следующей пирамиды по горизонтальной координате отстоит от основания предыдущей пирамиды на расстоянии, равном стороне своего собственного основания (c очень небольшой неточностью).

Сторона основания пирамиды Микерина (c ошибкой, меньшей 0,5 процента) равна половине стороны основания пирамиды Хефрена ( в = б/2 ). Как меньшая, пирамида Микерина выдвинута вперед по координате запад—восток, так что юговосточные углы всех трех пирамид находятся почти на одной прямой.

По координате запад — восток голова большого сфинкса и вершина пирамиды Хефрена находятся на равных расстояниях от точки пересечения координат О. Расстояние от того же центра О до конца пирамиды Хефрена равно расстоянию от этого центра до конца «преддверия», выдвинутого вперед. Длина крытого хода к «преддверию» равна удвоенной стороне пирамиды. Также равенством определяется расстояние от пирамиды Микерина до ее выдвинутого на восток «преддверия»; это расстояние равно расстоянию между вершинами крайних пирамид по основной координате север — юг (3а/2 Х 2).

Отсюда видно, что ансамбль построен на простых отношениях равенства.

1.6. Пропорции пирамид в Гизе

Пропорции пирамид в Гизе близки между собой. Разрезы всех пирамид дают приблизительно одинаковое отношение высоты к стороне основания и сходный утол наклона боковых сторон, равный у пирамиды Хеопса 51° 20', у пирамиды Хефрена— 50°20' и у пирамиды Микерина — 51°.

Высота и сторона основания пирамиды Хеопса —146,59 м и 230,35 м, а по другим данным — 148,2 м и 232,8 м (Отношение высоты к стороне основания при обоих обмерах будет, одно и то же. Вероятно, во втором обмере отметка основания взята ниже); Хефрана — 143,5 м и 215,25 м; Микерина — 66,4 м и 108,04 м).

Пропорции пирамид в Гизе привлекали внимание ряда исследователей. Одни из них высказывали неверные суждения, другие же достаточно хорошо объясняют отношение реальных величин этих пирамид, хотя и предлагает различные объяснения.

Дело в том, что трехмерная форма пирамиды определяется любой парой следующих величин: стороной основания и высотой; высотой и ребром; (ребром и углом его наклона и т. д. Если дана одна из этих пар, то ею определяются все остальные величины.

1.7. Пирамида Хеопса

В литературе имеется утверждение, что высота пирамиды Хеопса относится к стороне ee основания, как 2:3, т. е. разрез пирамиды как будто составлен из двух связанных «египетских треугольников» с отношением сторон 3:4:5, где высота пирамиды равна 4, а половина основания равна 3. Но это утверждение не вполне соответствует фактическим данным. В действительности отношение этих величин равно 230,35 / (2*146,59) = 0,785, или 232,805 / (2*148,2) = 0,785 вместо 0,75 (с большой ошибкой на втором знаке).

На наиболее близких к фактическим размерам пирамиды Хеопса данных основано предположение Прейса, что стороны полутреугольника поперечного сечения пирамиды (рис. 23) образуют геометрическую прогрессию, в которой z/y = y/x (1). Отношение между гипотенузой z и малым катетом х равно φ (т. е. 1,618 (1) * z/x = φ = 1.618, откуда (z/x = φ; z/x * x/y = φ * x/y; z/y = φ * x/y. Подставляя вместо x/y (1) равное ему отношение y/z, получаем z/y = φ * y/z; (z/y)² = φ; z/y = φ) z/y = y/x = √φ = 1,272.

Если подставить реальные величины обмера в первую пропорцию, получится действительно верный результат.

1.8. Пирамида Хефрена

В пирамиде Хефрена отношение высоты к стороне, основания составляет точно 2:3. Причем эта пропорция выдержана математически правильно: 143,5 м/215,25 м = 0,66.

Поэтому разрез пирамиды Хефрена может быть построен из двух сложенных треугольников с отношением сторон 3:4:5, где величина 4 соответствует высоте. При таком предположении пирамиду Хефрена можно считать самым ранним памятником, в котором появляются пропорции священного египетского треугольника.

1.9. Пирамида Микерина

В пирамиде Микерина отношение высоты к стороне основания 66,4/108,4 = 0,614 - величина, близкая к отношению золотого сечения — 0,618. Это первое появление отношения золотого сечения в его основном виде.

Частое пользование диагональю полуквадрата в ранней египетской архитектуре неминуемо должно было привести к открытию пропорции золотого сечения — 1/0,618 (рис. 24)

1.10. Диагональные пропорции пирамид в Гизе

Все описанные пропорции обнаруживаются в поперечном paзрезе пирамид. Однако более вероятным представляется следующий способ определения их пропорций.

Среди египетских папирусов, хранящихся в Британском музее, есть папирус Ринд (предположительно относимый к Древнему царству), в котором, наряду с прочими математическими задачами, есть задачи на построение пирамид. В них связываются три величины, относящиеся к диагональному разрезу через пирамиду по противоположным ребрам: диагональ основания пирамиды, сторона ребра и угол между ними. Требуется по любым двум данным из этих трех величин найти третью.

Возможность решения этих задач позволяет сделать вывод, что построение пропорций пирамиды основывалось на диагональном разрезе. В простейшем случае это построение можно себе представить таким образом: если мы разрежем квадрат по диагонали и половину его загнем на вертикальную плоскость, то получим диагональный разрез пирамиды, для которой весь квадрат является основанием (рис. 25).

Такой идеальный случай не встречается при построении пирамид (везде высота их меньше половины диагонали основания), но все же они могли быть построены по тому же методу.

Пропорции пирамиды Хеопса, самой ранней из пирамид в Гизе, довольно точно определяются следующим построением (рис. 26).

Допустим, что на песке начерчен квадрат со стороной, равной высоте пирамиды Хеопса. Радиусом, равным диагонали полуквадрата (v5/2) из точки О очертим полуокружность до пересечения ее с продолженьем основанием квадрата. Полученные крайние точки соединим со средней точкой верхней стороны квадрата и с верхней точкой полуокружности. Заштрихованный внутренний большой треугольник, переведенный в вертикальную плоскость, явится диагональным разрезом пирамиды Хеопса, а треугольник, доходящий вершиной до полуокружности, будет половиной основания этой пирамиды.

Реальные величины исключительно точно соответствуют этому построению. Диагональ основания пирамиды Хеопса (три стороне в 230,35 м) равна 325,71 м. Отношение высоты к диагонали 146,59/325,71 = 0,450. Отношение же высоты пирамиды к диагонали ее основания в построении на рис. 26 равно 1/v5 = 0,4472. Эти величины не совпадают всего на 0,003; а «отклонения менее 0,002 — 0,003», как говорит известный исследователь пропорций Мессель, «не могут быть избегнуты в процессе строительства и оформления так же, как и при последующем обмере».

Интересно отметить, что те же пропорции, только с еще большей точностью, повторяет впоследствии пирамида фараона Сахура (V династии). При вьвсоте в 49,60 м и стороне основания в 78,32 м, диагональ ее основания будет равна 110,74 м. Отношение высоты к диагонали 110,74 : 49,60 = 0,448 (отклонение от 1/v5 только 0,0005).

В таком построении примечательно, во-первых, то, что манипуляции со сложными иррациональными величинами производятся простейшим способом при помощи примитивных приспособлений.

Во-вторых, интересен прием одновременного вспомогательного построения плана н разреза здания на горизонтяльной поверхности (земле). При таком способе достигается исключительно полная увязка величин и пропорций сооружения по всем трем координатам.

В-третьих, примечательно применение) построения, которое служит для определения пропорций золотого сечения, хотя самого отношения 1/0,618 здесь нет (ср. рис. 24). Вероятно предположение, что появление пропорций золотого сечения относится к периоду IV династии.

Аналогичный метод употреблен при построении остальных пирамид.

Пирамида Хефрена построена также по производным квадрата, но диагональ его половины засечена от края квадрата (на рис. 27 от точки А вправо), а не от середины, как в предшествующих случаях. Из средней точки основания пирамиды О восстановлен перпендикуляр, определяющий вершину пирамиды (Б — на продолжении верхней горизонтали квадрата) и угол плана (В — на продолжении диагонали квадрата или в точке пересечения перпендикуляра с полуокружностью). Заштрихованный внутренний треугольник является диагональным разрезом пирамиды. Те же результаты могут быть получены следующим построением (рис. 28). Из крайней точки А исходного квадрата радиусом, равным половине диагонали полуквадрата, засекается крайняя точка Б диагонали пирамиды. Радиусом ОБ описывается полуокружность до точки В. Соединение точек Б и В с точками Г и Д даст половину основания и диагональный разрез пирамиды. При указанных построениях получается отношение высоты разреза к основанию равным:

Реальная величина этого отношения в пирамиде Хефрена (при стороне в 215,25 м, высоте 143,50 м и вычисленной диагонали — 304,36 м) будет: 143,5/304,36 = 0,4714 (отклонение на 0,0007, много меньше допустимого).

Эта величина соответствует так называемой малой, функции золотого сечения.

Важная роль отношения 0,472 для построения пирамиды Хефрена подтверждается тем, что до же отношение определяет основные пропорции плана выдвинутого вперед преддверия храма при пирамиде Хефрена.

Пирамида Микерина построена с применением другой исходной фигуры с равными сторонами - равностороннего треугольника а не квадрата, как в двух других пирамидах. Полукруг описан вокруг одного из углов этого треугольника АВО радиусом, равным стороне его (рис. 29).

Высота равностороннего треугольника будет высотой пирамиды. Тогда отношение высоты к диагонали основания пирамиды равно 0,866/2 = 0,433.

Реальная величина этого отношения к пирамиде Микерина (при высоте в 66,40 м, стороне основания 108,04 м и диагонали 152,77 м) составит 66,40/152,77 = 0,43 отклонение в 0,002).

В дальнейшем, при V династии, фактические пропорции планов в сооружениях Абусирa близко совпадают с пропорциями, определяемыми построением по системе диагоналей и методу последовательных квадратов.

План храма солнца в Абусире (рис. 30) представляет пример смещения исходной фигуры в общем габарите ансамбля (построение произведено последовательными засечками из точек 1, 2, 3 и 4) (ср. рис. 16).

2. Пропорции в архитектуре Среднего царства

Ввиду плохой сохранности памятников архитектуры Среднего царства трудно определить точно характер пропорций этого времени. Возможно, что аналогично общему своеобразию стиля Среднего царства пропорции в нем также имеют свои особенности. Однако более вероятно, что установленные в Древнем царстве приемы пропорционирования преобладали и в этот период.

Гробницы Бени-Хасана, имеющие в ряде случаев неточность в углах и прямых линиях, построены явно на квадрате (рис. 31). Там, в гробнице Аменемхета квадрат определяет внутренний зал и заднюю камеру, а ширина входной части равна половине диагонали зала.

3. Пропорции в архитектуре Нового царства

Кроме использования фигуры квадрата, применяемой даже ,в планировках городов (например «восточный квартал» в Тель-эль-Амарне имеет размеры сторон 69 м X 69,6 м, а земельные участки в нем — 5 м х 10 м), в Новом царстве широко применялся также способ пропорционирования при помощи простых чисел. Обычно этот способ совмещается с употреблением диагональных построений.

Дионисий Галикарнасский, историк I в. до н. э., приписывает египетским скульпторам применение модульных пропорций. По его словам, они в своей работе «пользуются (одной и той же) аналогией от наименьшeй (величины), до наибольшей, создавая симметрию (соразмерность) живого существа путем разделения всей величины его тела на 21 1/4 частей».

В связи с этим утверждением обращает на себя внимание египетский папирус времени XVIII династии, изображающий фасад киоска, вписанный в сетку, состоящую по высоте из 21 клетки, по ширине из 14 клеток. Основные членения киоска совпадают с делениями сетки или с серединам этих делений.

Верхнее украшение киоска слегка выходит за предел сетки; возможно, что это неслучайное совпадение с указанным у Дионнсия разделением фигуры «живого существа» на 21 1/4 частей.

Несомненно, что египетская архитектура пользовалась приемом числового модуля. В Новом царстве обнаруживается весьма часто кратность частей здания. Модулем обычно является ширина святилища, иногда взятая вместе со стенами.

3.1. Абу-Симбел

Один из памятников Нового царства, в котором применено построение по простым числам, является большой храм в Абу-Симбеле. Его внутренняя, врытая в скалу часть вписывается в квадрат, а весь план храма с открытой передней площадкой имеет размеры, соответствующие отношению стороны квадрата к его диагонали — 1 : 1,4142 (рис. 32 и 33).

Главную роль в пропорциях храма играют, однако, арифметические отношения простых чисел. Сторона основного квадрата L (т. е. глубина храма от первой двери до конца святилища L) разделена на 12 частей. (Следует вспомнить, что сумма сторон «священного» египетского треугольника 3 + 4 + 5 = 12). Одна двенадцатая глубины является модулем а и равна ширине святилища А. Ширина зала Б, примыкающего спереди к святилищу, равна трем модулям, т. е. L/4, а ширина переднего зала В — четырем модулям, т. e. L/3. Внешняя стена за статуями ГД равна восьми модулям.

Глубина открытой площадки перед фасадом равна пяти модулям, что дает всему габариту храма отношение диагонали к основному квадрату с неуловимой в натуре неточностью 17/12 = 1,4166 (отклонение на 0,002).

Возможно, что композиция храма была предварительно установлена при помощи вспомогательной сетки с ячейкой, равной модулю. Такая сетка определяет многие точки плата (например, положение столбов входного Зала или часть углов боковых помещений).

Одновременно с модульными отношениями применен прием нахождения длин трех последовательно увеличивающихся зал (А, Б. В) путем симметрично расположенных (двухсторонних) засечек, исходящих в каждом отдельном случае из ширины последующего (большего) зала и, наконец, из ширины фасада за статуями. Этот прием показан на рис. 33. Точки M₁, N₁, M₂, N₂, М₃, N₃, М₄, N₄ являются заранее заданными; точки X₁, Y₁, Х₂, Y₂, Х₃, Y₃ определяются путем указанных на рисунке засечек.

Так, святилище А при своей ширине в один модуль получает путем засечки заданную диагональ, равную 2а, и, как следствие, его длина равна v3 (v3/1 = 1,732).

Отношение сторон гипостильного зала Б получается при этом весьма близким к отношению 3/5 с ошибкой, трудно уловимой в натуре 1804/3 = 0,601.

Входной эал В при его ширине в 4a и заданных диагоналях 6а дает уже знакомый прямоугольник с отношением сторон 4a/ av2 = 4 / 2 * v5 = 2/v5 = 1/1,118 (рис. 8). Отношение меньшей его стороны к диагонали = 2/3; следовательно, этот прямоугольник хорошо включается в систему кратных чисел При откладывании диагоналей (на продолжении меньшей его стороны) путем засечек, указанных на рис. 33, получается удвоение меньшей стороны. Иррациональный прямоугольник 1/v3, примененный в святилище, дает в тех же условиях утроение меньшей стороны.

Следует отметить, что в Новом царстве при его осевых симметричных композициях преимущественно используемся засечка диагоналей одинаково по обе стороны той или иной формы, так как применение в Древнем царстве диагональной засечки с одной стороны вызывалось смещением центрального объема с осей ансамбля (как, например, в ансамбле Саккара).

Благодаря приему, по которому пропорции помещения определялись приравниванием его диагонали к определенной части ширины большего помещения с заранее заданным) размером, композиционное построение здания производилось с полной увязкой целого и его частей и, вероятно, в направлении от целого к части (в противоположность архаическому периоду). Составление предварительных схем в этом случае было, очевидно, обязательным. Упомянутый уже чертеж на папирусе Нового царства подтверждает это.

Дошедшие до нас египетские планы очень упрощены и почти не имеют цифр. Остается предположить, что разбивка здания делалась или по ориентировочным схемам и была возможна лишь при постоянном каноническом приеме построения пропорций, или при непосредственном участии архитектора в постройке.

3.2. Храм на острове Элефантина

Шуази в своей «Истории архитектуры» дал анализ одного из самых ранних храмов Нового царства — храма Аменхотепа на о. Элефантина, указав часть отношений, примененных в этом памятнике.

Общая высота здания, по Шуази, делится на три равные части: 1) цоколь; 2) ствол колонны; 3) верхняя часть здания до основания капители (рис. 34, деления с левой стороны чертежа).

Последняя часть делится, в свою очередь, также на три части: 1) капитель, 2) абака и архитрав и 3) карниз. Каждое подразделение выражается целым числом в единице меры, равняющейся одному египетскому футу (36 см) и точно соответствует двум таким футам. «Мы находим здесь.— говорит Шуази,— одновременно простые отношения и целые числа; в этом — вся сущность пропорций».

Шуази правильно указал, что при установлении пропорций египтяне часто пользовались треугольниками с отношением сторон 3:4:5 или треугольниками, которые составляются различным сочетанием сторон, выраженных числами 3, 4 и 5 (рис. 35—38).

В элефантинском храме Шуази указал применение треугольника с отношением высоты к основанию 4 : 10, производного от «священного» треугольника 3:4:5 (рис. 37).

Далее Шуази указывает, что "из простых отношений (египтяне) предпочтительно пользовались такими, которые совпадают с геометрическими построениями… Фактически метод треугольника (графический) и метод модульных отношений (арифметический) дают почти совпадающие результаты и… в пределах обычных приближений применение треугольников дает простые отношения размеров. Следовательно, оба метода, несмотря на то, что их часто противопоставляли друг другу, дают одинаковые результаты. Нужна исключительная точность постройки и точнейшие способы измерения ее частей, чтобы установить, что именно было положено в ее основу, — арифметический ли расчет или геометрические комбинации треугольников… При построении равностороннего треугольника или треугольника, высота которого равна 6/7 основания, линии их совпадают" (рис. 39): 6/7 = 0,857; v3/2 = 0,866.

Шуази, правильно указав на совместное применение и относительную увязку графического и арифметического методов, не уловил, однако, более древнего способа построения по диагонали, продолжающегося в Новом царстве и иногда почти совсем вытесняющего кратность по простым числам.

Так, в том же храме на о. Элефантина габарит фасада построен в отношении стороны квадрата к его диагонали (рис. 34), а ширина святилища получена пересечением диагонали большого квадрата с верхней линией цоколя (т. е. ширина обходной галлерей АБ равна высоте цоколя БВ).

Отношение сторон плана всего храма Аменхотепа установить нельзя. Определенное по чертежам фасадов, оно близко к 3:4 (точно 0,748), а определенное по чертежу плана — близко к отношению стороны квадрата) к его диагонали (на плане не хватает ряда цифр); толщина стен святилища составляет 1/4 пролета. План самого святилища с его стенами дает неясное отношение (0,650), близкое к 2/3, может быть, вследствие того, что диагональ святилища равна всей ширине храма. Совместное употребление, при построении пропорций, простых чисел и диагональных построений, естественно, дает место случайным отношениям.

Отношение золотого сечения в данном памятнике не обнаруживается. Близко к нему подходит отношение антаблемента к высоте колонны 1,20 м/3,19 м = 0,376. Эта величина дает с отношением золотого сечения 0,382 — разницу в 0,006. Однако с отношением целых чисел 3/8 (0,375) оно дает меньшую разницу 0,001.

3.3. Храмы Нового царства

В обычном типе храма Нового царства применяется двойное построение по модулю и по диагоналям. Однако здесь модуль имеет меньшее значение и основным приемом построения пропорций являются диагонали, определяющие основные габариты зданий.

Так, очень часто внешний габарит храма получается следующим образом. Если на внешней ширине храма построить квадрат, то его диагональ, прибавленная к стороне этого квадрата, дает длину храма (рис. 40).

Пилон или включен в полученный прямоугольник 1/2,4142, или примыкает к нему. Причем длина пилона обычно равна половине длины описанного построения 2,4142/2 = 1,2071.

Реже встречается построение, при котором длина всего храма определялась при помощи двух диагоналей квадратов, со стороной, равной ширине храма (Мединет-Хабу, рис. 41).

3.4. Храм Хонсу в Карнаке

В виде примера можно привести храм Хонсу в Карнаке. Основой построения пропорций этого храма является обход, окружающий камеру для священной ладьи (рис. 42).

Прямоугольник этого обхода описан вокруг равностороннего треугольника и имеет пропорцию — 2/v3 = 1/ 0,866 (в натуре 14,884/12,664 = 1/0,864). Расстояние АД передней стены обхода до входной грани камеры священной ладьи равно разности основания и высоты равностороннего треугольника. Ширина внутренней камеры ЕЖ получена на передней стороне квадрата ГД при помощи прямоугольных треугольников в 30°, приложенных в точках Б и 3.

Внешний габарит храма построен на диагонали обходной галлерей, как на исходной величине. Ширина наружных стен храма a (рис. 43) равна диагонали Д₂ квадрата, построенного на диагонали обхода Д₁.

Наконец, диагональ Д₃ последнего большого квадрата засекает внутреннюю сторону пилона, определяя таким образом длину храма (рис. 40).

Ширина пилона равна половине этой длины (в натуре 66,57 м/32,832 м = 2,03). Кроме того, она равна диагонали д4 открытого переднего двора, также весьма близкого к квадрату. Толщина пилона близка к ширине святилища.

3.5. Единство метода

Подобные построения наблюдаются почти во всех храмах Нового царства. Пропорции их, однако, часто варьируются, так как функциональные требования не давали возможности остановиться на одном габарите.

Большое количество совпадений в пропорциях заставляет предположить, что указанные приемы построения, возникшие на границе архаического периода превратились затем в каноническую схему и в период Нового царства были обязательны. Жрецы, являвшиеся хранителями этих приемов, связали их с религиозной символикой, а создание правил построения зданий приписали обожествленному впоследствии архитектору Древнего царства Имхотепу, как об этом говорит упомянутая надпись на стене храма в Эдфу.

Несомненно также, что построение фасадов и разрезов, как это видно на примере храма на о. Элефантина, подчинялось тем же приемам.

Переход к большим прямоугольникам через диагонали меньших вносил согласованность во все элементы здания. Так, например, длина фасада пилона и ширина первого двора в храме Хонсу находятся в отношении диагонали и стороны квадрата, а размер открытой части двора определяется следующим меньшим по величине квадратом, т. е. квадратом, диагональ которого равна ширине двора. В Эдфу длина пилона равна диагонали квадрата, построенного на глубине двора.

В такой глубоко проникающей «соразмерности» лежит одна из причин того впечатления цельности и четкости образа, которое производят египетские храмы.

Конечно, не следует представлять, что облик здания был точно и определенно зафиксирован каноном и не допускал отклонений. Наоборот, каждое здание имеет свой облик и свою систему отношений. Общий для них закон построения являлся только вспомогательным (и относительно гибким) средством для выявления образа конкретного памятника.

3.6. Пилон храма Гора в Эдфу

В качестве примера пропорционального построения фасада можно принести схему пилона храма Гора в Эдфу (рис. 44).

Весь габарит пилона вписан в два квадрата. Композиция флагштоков вписана в центрально расположенный один квадрат со стороной, равной высоте пилона.

Если продолжить до земли линии внутренних граней башен пилона (частично закрытых порталом), то каждая из двух башен (без карниза) впишется в меньший квадрат. Боковые грани среднего портала определяются пересечением наклонных стен пилонов с верхней линией карниза. Высота свободного промежутка над порталом равна ширине портала (квадрат).

Пилон храма в Эдфу построен в эпоху греко-римского владычества в Египте. Однако в простой схеме его пропорций, сводящейся к квадратам, не чувствуется посторонних (эллинистических) влияний; наоборот, видно отрицание новых веяний и возврат к старым архаическим приемам.

Более сложны по построению, чем пилоны, были фасады самих храмов.

3.7. Храм Хатор в Дендера

Передний зал храма Хатор в Дендера может служить примером одной из наиболее сложных композиций этого рода. Основным приемом здесь является применение диагонали квадрата.

Габарит фасада (без нижнего цоколя) дает отношение 1 : 2,414, т. е. состоит из квадрата и прямоугольника, высота которого равна стороне квадрата, а длина — его диагонали (рис. 45).

Вырез АБВЕ в стене дает отношение 2:5 (десять квадратов). Размещение в этом вырезе осей второй и пятой колонны определено большим квадратом со стороной, равной всей высоте храма.

Положение краев двух централыных колонн фасада (точки Д₁ и Д₂ определяются той же величиной Н (стороной большого квадрата), отложенной от края наклонных стен по нижней линии архитрава (Д₁ E₁ = Д₂ Е₂ = Н).

Остаток Д₁ Д₂ между средним колоннами, отложенной от точек E₁ и E₂, определяет положение крайних колонн Ж₁ и Ж₂.

Высота всего ордера делится на две равные части по нижней линии капители. Высота антаблемента относится к высоте капители, как сторона квадрата к диагонали, т. е. 1/v2 = 1/1,414. Капитель вписана в два вертикально расположенных квадрата и делится пополам по низу тяги над головой Хатор.

Пропорции и членения антаблемента сходны с пропорциями капители с соответствующим уменьшением (на 0,707).

В членении высоты интерколумниев повторяется то же Отношение стороны квадрата к его диагонали (1/1,414) и притом в обратном направлении, а именно высота портала относится к высоте сквозного пролета над ним, как 1,414/1; отношение же высоты стенок в боковых интерколумниях к высоте сквозных пролетов над ними равно 1/1,414. Иными словами, высота портала равна высоте пролетов над стенками. Сам портал членится в том же отношении: высота его проема относится к общей его высоте, как 1/1,414.

На фасаде храма в Дендера совсем не заметна арифметическая кратность. Все его пропорции мастерски построены на иррациональном отношении 1/v2.

4. Выводы

Из проведенного анализа пропорций можно сделать несколько выводов.

Во-первых, выясняется различна приемов пропорционирования, применявшихся в различные эпохи египетской истории. (Наиболее древним методом является применение системы диагоналей и метода последовательных квадратов и (в связи с этим пользование иррациональными величинами (включая сюда отношение «функций» — 1,118).

В дальнейшем оперирование диагональю полуквадрата приводит в отдельных случаях к применению пропорций группы «золотого сечения». А несколько позже развиваются методы пропорционирования при помощи целых чисел. Наконец, в последующий период все эти способы существуют совместно, с преобладаниам, однако, самого древнего приема. (Пропорция золотого сечения встречается редко и нe является характерной Для Древнего Египта. Возможно даже, что это отношение не было тогда, осознано и приведено в систему, несмотря на частое употребление диагонали полуквадрата. Во всех случаях оказывается возможным вывести пропорции памятника без применения пропорции золотого сечения).

Во-вторых, обнаруживается зависимость выбираемого метода пропорционирования от конкретных условий места. Так, в большом храме Абу-Симбела невозможность осуществить в натуре засечки диагоналей внутри скалы, вероятно, заставила применитьметод целых чисел.

В-третьих, выбор пропорций определялся рядом художественных факторов: величиной здания, его назначением, требуемым впечатлением торжественности или легкости, сложности или суровости и т. д. В том же храме в Абу-Симбеле на выбор метода пропорций, вероятно, повлияло преобладающее значение скульптуры в облике сооружения. Как указано выше, применение модульного метода было, согласно утверждению Дионисия Галикарнасского, характерным приемом египетской скульптуры.

Наконец, выявляется социально-историческая обусловленность приемов художественной композиции. В период роста египетского государства наблюдается творческое отношение к пропорциям; возникают и определяются новые системы. В период же упадка применяются старые канонические приемы с подчеркнутой ссылкой на их древность. В позднем пилоне храма в Эдфу, в период чужеземного завоевания, выбирается самый элементарный способ пропорциоиирования, путем простых квадратов,— прием для этого времени явно архаический. А на стене памятника делается надпись, оправдывающая такой выбор ссылкой на священную книгу древнего архитектора Имхотепа.